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2007年12月 6日 (木)

0.99999・・・=1?

今年の2月頃から、広島市中央図書館に通いつめています。きっかけは、パソコンのお勉強ですが、最近は小説から新刊本まで色々とまぜこぜで借りています。2週間で5冊のペースですので、そろそろ100冊くらいにはなるでしょう。
今週、借りています養老孟司・佐治晴夫著「わかることはかわること」のなかで、数学のチョッと面白い式が載っていましたのでご紹介します。こんなことがあっていいのでしょうか?

X=0.9999999・・・とする。
両辺を10倍すると、  10X=9.9999999・・・
両辺からXを引くと、10X-X=9.9999999・・・-X
X=0.9999999・・・だから、
               9X=9.9999999・・・-0.9999999・・・
               9X=9
                X=1
最初はX=0.9999999・・・なのに結果として、X=1になってしまいます。
これをドイツの数学者の名前から「デデキントの切断」というそうです。

「デデキントの切断」は、大学の数学の授業内容だそうですが、大学出でない私的には初耳で、びっくり仰天でした。イメージとしては分かるのです。結局は接近している数値に一致するということですよね。でも、これだと小学校の算数の反比例の授業のときに困るのではと思うのです。
反比例の式は、XかけるY=1 です。グラフを書くと、Xが大きくなると、Yが限りなく0に近づきますけども、絶対に0にはならないと教わります。X軸を小学校の教室いっぱいに伸ばしても、東京まで伸ばしても、グラフの線はX軸には引っ付かないですと習いましたが、「デデキント」さんによれば最後は0になるのです。すると困ったことに、
ここでXを無限大と仮定しても、 無限大かける0=1 
何かの数値に0を掛けたものが1になるなんて、これを、どのように理解しましょうか?
もし分かる人がいらっしゃいましたら、お教えいただきたいのですが・・・。よろしくお願いします。何か、無から有が生まれたような、地球に生命が誕生したような一大事なのです。
Kouyou1rsz 写真は中央図書館付近の紅葉の風景です。
例年よりも遅い紅葉です。
    

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コメント

 十分に理解しているとは言えませんし、上手に説明できるわけでもありませんが、極めて単純に、そして大ざっぱに(根源論からずれて)言うならば、次のようになります。

「小数点以下が無限に続く数、無限大、ゼロなどの特殊な数は、特殊であるがゆえに普通の決まりでは縛れない。」

 もっとも、数学者には「“普通の決まり”なんて考え方が自体が視野が狭いんだ」などと言われそうですが。

 数の考え方を拡張すれば、感覚的には変なことがたくさん起こります。中1で初めてマイナスの数を習いますが、

(マイナス)×(マイナス)=(プラス)

なんてのも、一見おかしく思える例のひとつかなと思います。これは、マイナスの数という“特殊”な数を導入したから起きる問題でしょう。(ただし、この“問題”も、わかりやすい説明法があるらしいですが。)

 根源的な説明は……やっぱり上手くできそうにないです。たぶん、自分自身が理解できていないからだと思います。

投稿: Yosh | 2007年12月 6日 (木) 17時16分

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